baris aritmetika

BARISAN ARITMETIKA

Masih ingatkah kalian dengan barisan bilangan?
Ya, barisan bilangan diperoleh dari susunan bilangan yang teratur dan mengikuti pola tertentu.

Berikut ini adalah contoh barisan bilangan:

• barisan bilangan Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
• barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, 10, …

Kedua contoh di atas sama-sama merupakan barisan bilangan, namun kedua barisan tersebut memiliki karakter yang berbeda.

Dapatkah kalian menebak apa perbedaan karakter antara kedua barisan bilangan di atas?
Yuk kita amati ilustrasi berikut ini.

Dari ilustrasi di atas, tampak bahwa selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan Fibonacci tidaklah bernilai tetap, sedangkan selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan bilangan genap bernilai tetap, yaitu 2.

Nah, oleh karena karakter yang demikianlah, maka barisan bilangan genap termasuk ke dalam barisan aritmetika.

Jadi, apa yang dimaksud dengan barisan aritmetika?

Secara umum, barisan aritmetika didefinisikan sebagai barisan bilangan dimana selisih antara dua bilangan yang berurutan selalu bernilai tetap (konstan).

Barisan aritmetika memiliki pola sebagai berikut: 
a , (a + b) , (a + 2b) , ... , (a + (n - 1)b)

Bilangan pertama, kedua, ketiga, dan ke-n dari barisan di atas berturut-turut dinamakan suku pertama, suku ke-2, suku ke-3, dan suku ke-n. Adapun selisih antara dua suku yang berurutan dinotasikan denganb dan dikenal dengan istilah beda antar suku atau beda.

Jika Un dan Un - 1 berturut-turut menyatakan suku ke-n dan suku ke-n - 1, maka b = Un - Un - 1.

Beda antar suku dari Um dan Un juga dapat ditentukan dengan rumus berikut b=Um−Unm−n. Perlu kalian ketahui, rumus ini biasanya digunakan untuk mencari beda antar suku jika kedua suku yang diketahui tidak berurutan.

RUMUS SUKU KE-n DAN SUKU TENGAH

Jika kita hendak mencari nilai suku ke-n, dimana nilai n relatif besar, maka perhitungan secara manual dengan melanjutkan pola barisan tentu akan membutuhkan banyak waktu. Nah, oleh karena itu kita perlu menentukan rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika.

Berdasarkan pola dari barisan aritmetika, dapat kita simpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah Un = a + (n - 1)b.

Apakah suku tengah dari suatu barisan aritmetika juga dapat ditentukan?
Ya, tentu saja dapat.

Jika Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmetika, maka Ut=(a+Un)2.

CONTOH

Apakah kalian sudah paham dengan penjelasan di atas?
Agar kalian lebih paham mengenai barisan aritmetika, yuk kita simak beberapa contoh berikut.

Contoh 1:

Diberikan barisan aritmetika: 1, 4, 7, 10, 13, 16, …. 
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan di atas.

Penyelesaian:

Suku pertama dan beda antar suku dari barisan aritmetika di atas berturut-turut adalah

• a = U1 = 1
• b = U2 - U1 = 4 - 1 = 3

Dengan demikian, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika di atas adalah

Un====a+(n−1)b1+(n−1)(4)1+4n−44n−3

Contoh 2:

Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 4 dan beda antar suku 5. 
Tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.

Penyelesaian:

Oleh karena suku pertama dan beda antar suku dari barisan aritmetika berturut-turut adalah 4 dan 5, maka

• a = 4
• b = 5

Dengan demikian,

UnU10=====a+(n−1)ba+9b4+9(5)4+4549

Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmetika tersebut adalah 49.

Contoh 3:

Diberikan barisan aritmetika: 1, 7, 13, 19, … , 61. 
Tentukan banyak suku bilangan pada barisan di atas.

Penyelesaian:

Suku pertama, beda antar suku , dan suku terakhir dari barisan aritmetika di atas berturut-turut adalah

• a = U1 = 1
• b = U2 - U1 = 4 - 1 = 3
• Un = 61

Dengan demikian,

Un=a+(n−1)b⇔61=1+(n−1)(6)⇔60=(n−1)(6)⇔n−1=606⇔n−1=10⇔n=10+1⇔n=11

Jadi, banyak suku bilangan pada barisan aritmetika di atas adalah 11.

Contoh 4:

Diberikan barisan aritmetika: 2, 4, 6, … , 14. 
Tentukan suku tengah dari barisan di atas.

Penyelesaian:

Suku pertama dan suku terakhir dari barisan aritmetika di atas berturut-turut adalah

• a = U1 = 2
• Un = 14

Dengan demikian, Ut=(a+Un)2=(2+14)2=162=8.

Jadi, suku tengah dari barisan di atas adalah 8.